以真题为例详解国考数量关系排列组合题型

中公

排列组合问题在国家公务员考试行政能力测验数量关系专项中经常出现，近几年难度不断加大，题型及其解法也灵活多变。因此很多考生在面对这类问题时，感觉思路混乱，理不清头绪，也不知道如何备考。中公专家通过多年的公考培训实践证明，备考的有效方法是将题型与解法归类，识别模式，熟练应用。同时，还要抓住一些基本策略和方法技巧，排列组合问题便能迎刃而解。下面中公专家给大家介绍几种题型及相应的解题方法策略，希望能助广大考生一臂之力。
一、含有特殊元素或位置的题目，我们可以采用特殊优先法-------所排列或组合的元素或位置有限制，可以优先安排这些特殊的元素或位置，将问题转化为无限制问题，降低题目难度。
例题1：1名老师和6名学生排成一排，要求老师不能站在两端，那么有多少种不同的排法？
A．720 B.3600 C.4320 D.7200
【答案】B。解析：本题中特殊元素是老师，特殊位置是两端（即排头和排尾），优先考虑老师的位置。
方法一：考虑特殊元素
这里特殊元素是“老师”，可优先考虑老师，老师在中间5个位置选一个有5种选法，其余的6名同学在6个位置全排列有

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=720种排法，故共有5×720=3600种。
方法二：考虑特殊位置
这里特殊位置是“排头和排尾”，那优先考虑这两个位置。排头的排法有6种（6个同学任选其一），排尾的排法有5种，剩下五个位置的排法有

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=120种，故共有6×5×120=3600种。
二、有些组合排列问题从正面考虑，情况比较复杂，对立面又相对简单，对于这样的题目可以用对立转化法 ，可直接将问题转化为他的对立面。
例题2：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同选法？
A．240 B.310 C.720 D.1080
【答案】B。解析：“男女至少各1名”的对立面是“只选男生或只选女生”。只选男生有

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=15种情况；只选女生有

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=5种情况。所以对立面共有15＋5=20种情况。故所求为

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-20=310。
三、如果题中要求两个或多个元素相邻时，可将这几个元素捆绑在一起，作为一个整体进行考虑，此法叫做捆绑法。捆绑法只适用于排列问题中，因此需要注意这个整体内部各元素之间的排列。
例题3： 6个人站成一排，要求甲、乙必须相邻，那么有多少种不同的排法？
A．280 B.120 C.240 D.360
【答案】C。
【解析】将甲、乙“捆绑”在一起，看做是一个人参与排列，注意甲、乙本身的顺序（即甲在乙的左边还是右边），那么共有

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=240种。
四、在排列问题中，如果要求两个或多个元素不相邻，可先将其余无限制的元素进行排列，再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端间所形成的“空”中。
例题4：6人站成一排，要求甲、乙必须不相邻，有多少种不同的排法？
A．240 B.480 C.360 D.720
【答案】B。
【解析】除甲、乙外其他4人的全排列有

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=24种，再将甲、乙插到4人形成的5个空中（包括两端），有

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=20种，由乘法原理，不同的排法共有24×20=480种。
五、若将若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，我们可采用插板法，即用比组数少1个的“挡板”插入这些元素之间形成的“空”中，将元素进行分组。
例题5：将10本没有区别的图书分到编号为1、2、3的图书馆，要求每个图书馆分得的图书不小于其编号数，共有多少种不同的分法？
A．12 B.15 C.30 D.45
【答案】B。解析：先给编号为2的图书馆1本书、编号为3的图书馆两本书；
再将剩下的7本书分为三份，则可保证“每个图书馆分得的图书不小于其编号数”，相当于在7本书的6个空处加入2个隔板，有

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=15种。
六、当题干描述的情况相对复杂，不能很快找到突破口时，我们可采用全面分类法，即深入分析，针对不同的情况，进行科学分类，将复杂过程转化为简单情况计算。需要注意的是，分类时要做到不重不漏，各类之间没有制约关系。
例题2：有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？
Ａ．24种 Ｂ．48种 Ｃ．64种 Ｄ．72种
【答案】C。解析：分类讨论如下：
（1）挂一盏时有

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＝４种；
（2）挂两盏时有

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＝１２种；
（3）挂三盏时有

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＝２４种；
（4）挂四盏时有

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＝２４种。
由加法原理可知共有4＋12＋24＋24＝64种。
除了上面所介绍的几种解题方法，我们经常用到的解题方法还有合理分步法、先组后排法、归一法以及线排法等方法，希望大家能够熟练掌握，灵活运用。