第十三讲 简单的统筹规划问题

中公

第十三讲  简单的统筹规划问题
    这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。
    例1  某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如下所示）。问如何调运最省汽油？
               

分析  把渣土从A运到B或把砖从C运到D，都无法节省汽油，只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。
解：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了：300×60＋360×40=32400（米）
如果一辆从从A→B→C→D→A跑一圈，那么每运一车渣土，运一车砖要空车跑：240＋90=330（米）；
因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务。然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了。这时总共空车跑了：330×40＋300×20=19200（米）
后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案。
说明：“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则，下面通过例子再介绍“避免对流”的原则。
例2  一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如下图所示。为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）
               

分析  在人员调动时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。
解：五个基地人员总数为
17＋4＋16＋14＋9=60（人）
依题意，调整后每个基地应各有
    60÷5=12（人）
因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人。为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：
先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求。此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。
调动示意图如下所示，这样的图形叫做物资流向图。用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦。图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量。
      

说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案，这个原则可以证明：
     

如上图，设A1、B2=a千米，B2B1=b千米，B1A2=c千米。如果从A1运1吨货物到B1，同时又从A2运1吨货物到B2，那么在B1B2之间A1的物资从西向东运输，A2的货物从东向西运输，两者发生对流，于是这样调动的总吨千米数为：
(a＋b)＋(b＋c)=a＋c＋2b.
而如果从A1运1吨货物到B2，同时从A2运1吨货物到B1，则运输总吨千米数为a＋c，显然
a＋c＜a＋c＋2b.
例3  在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如下图左），共有5个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

  
分析  欲使花费的运输费最少，关键在于运输的货物和路程尽可能少。实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠”。下面就以两地调运问题为例加以计算验证：如上图右，在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子，问打麦场建在何处运费最少？
                  

设打麦场建在C点，则总运费是（假定每吨小麦运输1千米的费用是a元）：
W=10×a×AC＋15×a×BC
  =10a×AC＋10a×BC＋5a×BC
  =10a×AB＋5a×BC
上式中10a×AB是固定的值，不随C点的选取而改变；只有5a×BC随BC的变化而改变，若BC越小，则W也越小。当BC=0时，即C点与B点重合时，W的值最小。因此打麦场建在B点时总运费是10a×AB（元）最少。显然当打麦场建在AB线段之外时，总运费都大于10a×AB（元）。
解：根据“小往大处靠”的原则，先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中，需运费：
    10×0.5×100=500（元）
这时可以认为二号仓库有30吨货物，而五号仓库有40吨货物，于是又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中，需运费：
    30×0.5×300=4500（元）
所以，把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少，需要500＋4500=5000（元）。
说明：“小往大处靠”的原则也不是一成不变的，具体问题还要具体分析。
再举两例如下：
例如一号仓库有20吨货物，二号仓库有30吨货物，其他仓库存货照样如前，那么应该往哪个仓库集中呢？首先仍应把一号仓库的20吨货物运往二号仓库集中，然后再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最少。
又如一号仓库有30吨货物，二号仓库有20吨货物，其他仓库存货仍然如前，那么应该往哪个仓库集中呢？先把一号仓库的30吨货物运往二号仓库集中，再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最省。（想想为什么？）
还有一点值得注意，在决定货物往何处集中时，起决定作用的是货物的重量，至于距离仅仅是为了计算运费。如果把本题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值，仍应该把货物集中到五号仓库。
本题可以推广为一般命题：“在一条公路上有n个仓库，它们分别存货a1吨、a2吨、…、an吨，现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里，应该选取哪个仓库可以使总运输费最少？”它的解法将涉及到一次函数的知识，同学们在学过初三代数之后就会完全明白了。
例4  189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如果剪法最省材料？
分析  显然无残料的剪法是最优方案，于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。
解：设4米长的剪x根，7米长的剪y根，依题意列方程
    4x＋7y=189
根据倍数分析法可知
7?x（即x是7的倍数）
令x1=0，则7y=189，解出y1=27；
x2=7，则7y=161，解出y2=23；
x3=14，则7y=133，解出y3=19；
x4=21，则7y=105，解出y4=15；
x5=28，则7y=77，解出y5=11；
x6=35，则7y=49，解出y6=7；
x7=42，则7y=21，解出y7=3。
因此，有七种剪法都是最省材料的。
说明：本例是最简单的下料问题，属于“线性规划”的范畴。线性规划是运用一次方程（组）、一次函数来解决规划问题的数学分支，规划论研究的问题主要有两类：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它；另一类是在已有一定的人力、物力和财力的条件下，研究怎样合理调配，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。
例5  用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？
分析  不难想到有三种截法省料：
截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料；
截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺；
截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺。
由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1。考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根。于是再应该截法3，截原料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料：2×25=50（尺）
解：至少要用75根原材料，其中50根用截法1，25根用截法3，这样的截法最省料。
说明：一般说来，一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题，用本例的方法求解是比较省料的。这种解法的理论根要用到二元不等式及一次函数图像，有兴趣的读者可参阅有关书刊。

分析  根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间比为2：3，因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比也是2：3（注意：在固定时间内，数量与每件所用时间成反比）；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3：4。
由于3/4＞2/3，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。下面简单说明理由：
如果甲厂生产9条裤子，则相当甲厂生产6件上衣；如果让乙厂生产这6件上衣，则相当于生产8条裤子。这就是说，甲厂生产9条裤子时乙厂只能生产8条裤子。显然甲厂善于生产裤子。类似地，如果乙厂生产9件上衣，则相当于乙厂生产12条裤子；如果让甲厂生产这12条裤子，则相当甲厂生产8件上衣。这就是说，乙厂生产9件上衣时甲厂只能生产8件上衣。显然乙厂善于生产上衣。
解：两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣。由于乙厂用4/7月生产1200件上衣，那么乙厂全月可生产上衣：
    1200÷4/7=2100（件）
同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子：
    900÷2/5=2250（条）
为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这需要：
    2100÷2250=14/15（月）
然后甲厂再用1/15月单独生产西服：
    900×1/15=60（套）
于是，现在联合生产每月比过去多生产西服：
    （2100＋60）－（900＋1200）=60（套）
说明：本例是线性规划中劳力组合问题。劳力组合最简单的情况就是效率比问题，这里给出多种劳力（或机械）干两种配套活的一般分工原则：