2019国家公务员考试行测指导：剖开截面图的心

公务员考试网

立体图形的截面问题是2013国考出现的新考点，在各类考试中均有体现，已经逐渐成为公考立体图形一种新的考查趋势。这个考点相对较新，很多考生都是文科生，而截面图考查的是纯理科思维，没有基础的空间思维建立过程，学习起来自然感觉很难。立体图形(折纸盒问题、三视图、截面图、立体组合等)每年都有考查(如图1)，已然成为国考图形推理的考查热点，其重要性不言而喻。
   

2018112209525022939.png

    一、截面图定义
    截面图：平面切立体图形，所截开部分的投影即为截面图，其形状表示被切物体断面的外围轮廓。
   

2018112209550580539.png

    二、截面图解题方法
    立体图形往往考查的是考生的空间想象能力，然而，空间想象能力不是一朝一夕就能建立起来的，这时候，解题方法就显得尤为重要。我们所见到的考题往往不是基础几何体，而是组合几何体。既然题干往往是组合几何体，那么，我们就可以将组合几何体拆分成几个基础组合体。我们在研究组合几何体的截面图形时，可以按照“拆-拆-组”的思路来解题，所谓的“拆-拆-组”具体指的是：
    ①选项给出的多边形往往是组合多边形，它可以拆分成几个基础多边形(大多数拆分为两个即可)，这里所说的基础多边形指的是我们所熟知的圆形、三角形、四边形、五边形、扇形等。
    ②将题干给的组合几何体进行拆分，拆成我们所熟知的基础几何体(长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、三棱锥、三棱柱、四棱锥等)，拆分数量与我们之前拆分选项的基础多边形的个数相等。然后看我们第一步拆分选项时拆分出的多边形是否可以在我们所拆分的基础几何体中截出，如果不可以，此选项可以直接排除(当题问为“以下哪项是该多面体的截面?”)。
    ③如果我们第一步拆分选项时拆分出的多边形可以在我们第二步所拆分的基础几何体中截出，这时候还不能直接确定该选项是否正确，还要看我们在第二步中各基础几何体截出的多边形是否满第一步拆分选项时多边形的相对位置或者比例关系(即是否能够一刀切出)。其中，位置关系包括相离、点相接、线相接。
    三、基础几何体截面分析
    以上就是“拆-拆-组”的具体操作步骤，在第二步中，基础几何体能截出哪些截面是需要我们有所了解的，下面列出一些我们常见的基础几何体的部分截面图。
    1.正方体：截面截正方体，截面图形可以是三角形、四边形、五边形、六边形。
    三角形：可以是任意的锐角三角形，等边三角形、等腰三角形。但不能是直角三角形和钝角三角形。
    四边形：可以是正方形、平行四边形、矩形、菱形、梯形，但不能是直角梯形。截面为四边形时，至少经过立方体的一组平行面，所以这个四边形中至少有一组平行边。
    五边形：截面为五边形时，必然经过立方体的两组平行面(可以过第6个面的一个顶点)，因此，五边形必有两组平行边，故不能为正五边形(正五边形相临边夹角为108°)。
    六边形：截面过立方体的六个面，故截得的六边形有三组平行边(当截面与正方体各棱的交点为棱的中点时，截面是正六边形)。
    总结：截面与几何体(不包含曲面)的几个平面相截，就得到几条截线，所以，截面的最大边数不会超过这个几何体平面的个数。对于正六面体(立方体)来说，截面的最大边数为六条，因此，立方体的截面边数不可能是七或者七条以上。由于立方体有三组平行面，过平行面的截线必然平行，所以，截面是四边形时，至少有一组平行边;截面是五边形时，有两组平行边;截面是六边形时，有三组平行边。
   

2018112209561977539.png

    2.圆柱：截面截圆柱，截面图形可以是矩形、鼓形、圆、椭圆、曲线加直线。
    总结：与曲面相截既可以得到曲线，也可以得到直线。截面与圆柱轴线平行时为直线，不平行时为曲线，截面最大边条数为4条。随着截面与圆柱轴线夹角的变化，依次得到矩形(当圆柱直径大于等于高时，可截得正方形)、鼓形、椭圆、曲线加直线、和圆。
   

2018112209571713639.png

    3.正四棱锥：截面截正四棱锥，截面图形可以是三角形(可以是任意三角形。可为等边三角形、等腰三角形，钝角三角形和直角三角形)、四边形(等腰梯形、菱形、正方形)、五边形(可以是正五边形)。
   

2018112209583183939.png

    4.球：任意切割球体，可截得不同直径的圆，且只能截得圆形。
   

2018112210005353439.png

    5.圆锥：截面截圆锥，截面图形可以是三角形(截得的三角形均为等腰三角形，当轴线小于直径时，可截得等边三角形)、圆形、曲线加直线、椭圆、椭圆加直线等。
   

2018112210011680239.png

    总结：与曲面相截，既可以得到曲线，也可以得到直线。截面的边跟圆锥母线重合的边为直线，不重合的边为曲线，截面最大边的条数为3条。在所得的曲线中随着截面与轴线夹角的变化，分别可以得到曲线加直线、椭圆和圆。另外，圆台的截面性质跟圆锥相似，在本文中不做介绍。
    四、实战演练
    【例题1】一正方体如下图所示切掉了上半部分。现在从任意面剖开，下面哪一项不可能是该多面体的截面?
   

2018112210014872839.png

    【答案】：C。
    【中公解析】：题干立体图形可以看成一个长方体与一个正方体组合。首先来看A选项，可以拆分成两个梯形，且交线为两个梯形的上底(如下图所示)。然后将原几何体拆分成一个正方体和一个长方体，这两个几何体均可以切出梯形(并且可以由一刀切出)，且能满足交线为两个梯形的上底，故A选项可以切出。B、D选项同理。故本题答案为C。
   

2018112210022551139.png

    【例题2】下面的立体图形如果从任一面剖开，以下哪一项不可能是该立体图形的截面?
   

2018112210033766139.png

    【答案】：D。
    【中公解析】：题干立体图形可以看成三个长方体组合而成。首先来看A选项，A选项为两个长方形，截面截组合体中的两个长方体，即可截得两个长方形，如下图所示。B、C选项同理。故本题答案为D。
   

2018112210032043639.png