第十三讲 简单的统筹规划问题

中公

第十三讲  简单的统筹规划问题
这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。
例1  某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如下所示）。问如何调运最省汽油？

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分析  把渣土从A运到B或把砖从C运到D，都无法节省汽油，只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。
解：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了：300×60＋360×40=32400（米）
如果一辆从从A→B→C→D→A跑一圈，那么每运一车渣土，运一车砖要空车跑：240＋90=330（米）；
因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空车开往C运砖到D后空车返回A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务。然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了。这时总共空车跑了：330×40＋300×20=19200（米）
后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案。
说明：“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则，下面通过例子再介绍“避免对流”的原则。
例2  一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如下图所示。为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）

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分析  在人员调动时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。
解：五个基地人员总数为
17＋4＋16＋14＋9=60（人）
依题意，调整后每个基地应各有
60÷5=12（人）
因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人。为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：
先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求。此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。
调动示意图如下所示，这样的图形叫做物资流向图。用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦。图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量。

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说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案，这个原则可以证明：

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如上图，设A1、B2=a千米，B2B1=b千米，B1A2=c千米。如果从A1运1吨货物到B1，同时又从A2运1吨货物到B2，那么在B1B2之间A1的物资从西向东运输，A2的货物从东向西运输，两者发生对流，于是这样调动的总吨千米数为：
(a＋b)＋(b＋c)=a＋c＋2b.
而如果从A1运1吨货物到B2，同时从A2运1吨货物到B1，则运输总吨千米数为a＋c，显然
a＋c＜a＋c＋2b.
例3  在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如下图左），共有5个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

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分析  欲使花费的运输费最少，关键在于运输的货物和路程尽可能少。实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠”。下面就以两地调运问题为例加以计算验证：如上图右，在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子，问打麦场建在何处运费最少？

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设打麦场建在C点，则总运费是（假定每吨小麦运输1千米的费用是a元）：
W=10×a×AC＋15×a×BC
  =10a×AC＋10a×BC＋5a×BC
  =10a×AB＋5a×BC
上式中10a×AB是固定的值，不随C点的选取而改变；只有5a×BC随BC的变化而改变，若BC越小，则W也越小。当BC=0时，即C点与B点重合时，W的值最小。因此打麦场建在B点时总运费是10a×AB（元）最少。显然当打麦场建在AB线段之外时，总运费都大于10a×AB（元）。
解：根据“小往大处靠”的原则，先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中，需运费：
10×0.5×100=500（元）
这时可以认为二号仓库有30吨货物，而五号仓库有40吨货物，于是又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中，需运费：
30×0.5×300=4500（元）
所以，把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少，需要500＋4500=5000（元）。
说明：“小往大处靠”的原则也不是一成不变的，具体问题还要具体分析。