省考数量关系：和差倍比问题重难点讲解

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和差倍比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学应用题，在数学运算中比较容易理解。但此类问题对计算速度和准确度要求较高，考生在平时复习中，应注意培养自己的速算能力。
    专家认为，按照考查形式，和差倍比问题可以分成两大类：即和差倍的数量关系和比例关系。其中利用比例问题的基本公式，还可以帮助解决隐含对应比例关系的行程、工程问题。
    一、明确和差倍的数量关系
    和差倍问题并没有统一的背景概念，通常题干叙述一些条件之间的关系，包括：和倍、差倍、和差关系三种。
    1.和倍关系：已知两数之和与它们之间的倍数关系，求这两个数。
    和÷(倍数+1)=较小数
    【示例1】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个?
    解析：根据题意，徒弟加工的少，可将徒弟的看成1倍量。
    画出示意图：
   

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    从图上可以看出，如果师傅少加工5个，则两人加工的总数少5个，变为100个，这时是整数倍，一共有1+3=4倍。1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25个。师傅加工了105-25=80个。
    2.差倍关系：已知两数之差与它们之间的倍数关系，求这两个数。
    差÷(倍数-1)=较小数
    【示例2】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，则第一块花布原有多少米?
    解析：已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多。将第一块剩下的看成1倍量，画出示意图：
   

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    所剩的布第二块比第一块多31-19=12米。又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，根据差倍公式，差÷(倍数-1)=1倍量，可知第一块所剩布的长度为12÷(4-1)=4米，则第一块布原有4+31=35米。
    3.和差关系：已知两数之和与差，求这两个数。
    (和+差)÷2=较大数 (和-差)÷2=较小数
    【示例3】甲班和乙班共有图书160本，且甲班的图书比乙班多20本，甲乙两班各有多少本图书?
    解析：乙班书较少，将乙班的书看成1倍量，则甲班的书减20本等于1倍量，从而有
1+1=2倍量=160-20，所以1倍量为(160-20)÷2=0，即乙班有图书0本。
    也可将甲班的书看成1倍量，则乙班的书+20本=1倍量，从而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量为(160+20)÷2=90本，即甲班有图书90本。
    二、比例问题
    比例问题是指分量与总量的比较，或者是分量之间的比较。因此，解决比例问题的关键是找准各分量、总量以及分量与总量之间的比例关系，再根据对应的公式进行求解。
    基本公式：分量÷总量=所占比例，分量÷所占比例=总量，分量=总量×所占比例
    解题时，需注意两点：
    (1)题干中，如果有明显的等量关系，且算术方法思路复杂时，可用方程法去解。设未知数时，要注意结合比例关系，避免分数的出现。
    (2)根据题干数字特征，尤其是遇到含分数、百分数的题，可结合选项排除。
    三、在行程、工程问题中的应用
    解决与工程、行程问题相结合的比例问题时，需要利用工程、行程问题中的相关知识，找出其中隐含的比例与对应量之间的关系，再利用比例问题的公式解题。