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路程问题
路程问题也是实际应用题中常见的典型问题。路程问题涉及距离、速度和时间三者之间的关系：
距离=速度×时间。主要有四种基本类型：相遇问题、追及问题、背向运动和逆行问题。
1.相遇问题
相遇问题亦称相向运动问题。两个物体以不同速度从两地同时出发，相向而行，经过若干时间后
相遇。这样的问题叫做相遇问题。相遇问题的核心是“速度和”问题。
相遇问题的核心公式：
相距路程+(甲速度+乙速度)=相遇时间
(甲速度+乙速度)×相遇时间=相距路程
相距路程+相遇时间一甲速度=乙速度
相距路程=甲路程+乙路程
=甲速度×相遇时间+乙速度×相遇时间
=(曱速度+乙速度)×相遇时间 =速度和×相遇时间
【例题1】甲、乙两地相距40公里，某人从甲地骑车出发，开始以每小时30公里的速度骑了 24分
钟，接着又以每小时8公里的速度骑完剩下的路程。问该人共花了多少分钟才骑完全部路 程?( )
A. 117 B. 234 C. 150 D. 210
【解析】答案为B。由题意可知，前半段骑车的路程为：(24/60)×30=12(公里)，则剩下的路程为：40 - 12=
28(公里)。后半段的骑车时间为：28/8=3. 5(小时)，总时间为：24+3. 5×60 = 234(分钟)，故选B项。
【例题2】载重汽车每小时行45千米，小汽车的速度是载重汽车的1. 4倍。它们从相距162千米
的两地同时出发，相向而行，如果出发时是8时15分，相遇时是几时几分?( ) A. 9点30分 B. 9点45分 C. 9点50分 D. 9点55分
【解析】答案为B。先求出小汽车的速度45 ×I. 4 = 63(千米/小时)，得出两车相遇时行驶的时间 162 + (45 + 63) = 1.
5(小时)，相遇时是9时45分。
2.追及问题
追及问题亦称同向运动问题。甲、乙两人以不同速度(乙快、甲慢)从两地同时出发，同向而行(甲
在前，乙在后)，经过若干时间后，乙追上甲，这样的问题叫做追及问题。追及问题的核心是“速度差” 的问题。
追及问题的核心公式：
追及路程÷(乙速度一甲速度)=追及时间
(乙速度一甲速度)×追及时间=追及路程
追及路程÷追及时间+甲速度=乙速度
追及路程=乙路程一甲路程
=乙速度×追及时间一甲速度×追及时间
=(乙速度一甲速度)×追及时间
=速度差×追及时间
【例题1】甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小
时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米?( )
A.14 B. 13 C. 19 D.16
【解析】答案选D项。甲对乙的追及速度差=28 - 24 = 4(千米/小时)，追及时间为4(小时)，则追 及的距离为4×4 =
16(千米)，即两码头之间的距离。
【例题2】狗追狐狸，狗跳一次前进15分米，狐狸跳一次前进10分米。狗每跳4次的时间狐狸恰 好跳2次。如果开始时狗离狐狸有300分米，那么狗跑(
)分米才能追上狐狸。
A. 300 B.350 C. 400 D. 450
【解析】答案为D。依题意可知，狗跳15×4 = 60(分米)与狐狸跳10×2 = 20(分米)的时间相同。
如果把狗跳4次的时间当作一个单位时间，则狗追上狐狸所需的时间为300+(60 -20) = 7. 5。在7. 5 单位时间里狗跳了 7.
5×4==30(次)，狗跑的路程为15×30 = 450(分米)。故选D项。
【例题3】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了 80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走
60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这
样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?( )
A. 600 B. 800 C.1200 D. 1600
【解析】答案为A。此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。首先求姐姐多 少时间可以追上弟弟，速度差= 60 -40 =
20(米/分)，追及距离=80(米)，所以，姐姐只要80 + 20 =
4(分钟)即可追上弟弟，在这4分钟内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路=150×4=600(米)。
3.背向运动
甲、乙两物体以不同速度从同一地点同时出发，背向而行，经过若干时间后，求甲、乙的相距路程。 这样的问题叫做背向运动问题。
背向运动问题的核心公式：
相距路程÷(甲速度+乙速度)=行驶时间
(甲速度+乙速度)×行驶时间=相距路程
相距路程÷行驶时间一甲速度=乙速度
【例题】甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知
甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是( ) A. 166 米 B.176 米 C.224 米 D. 234
米
【解析】答案为B。此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，则依题意可列方程：8x+8y=
400×3,x-y=6(速度差0.1米/秒=6米/分)
从而解得x=78，y=72。由y=72，可知，8分钟乙跑了 576米，显然距起点的最短距离为176米。
4.逆行问题
物体的逆行速度不但与物体本身运动的速度有关，而且还与阻碍的速度有关。
逆行问题的核心公式：
顺行速度=物体本来速度+水(风)速
逆行速度=物体本来速度一水(风)速
根据上面两个关系，我们可以指出如下两个关系：
物体本来速度=(顺行速度+逆行速度)÷2
水(风)速=(顺行速度一逆行速度)÷2
【例题】一条河的水流速度是每小时2千米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然
后逆流到达中游的乙地，共用6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距 12千米。求甲、丙两地的距离。( )
A. 21千米 B. 16千米 C. 24千米 D. 15千米
【解析】答案为C。设逆流速度为v，则顺流速度为2v,根据题意可知，2v-v= 2×2，即v=4。再
设从乙地到丙地的距离为s,根据题意可知，12/8 + s/8 +s/4 = 6,解得12，所以甲、丙两地的距离为 12 + 12 =
24(千米)。 |
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发表于 2018-6-25 17:50:04