2015年公务员考试行测数量：平铺问题

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如果一些图形可以无缝隙的铺满一个平面，相拼接的边相等，每个拼接点处各个角的和为360°，我们称其可以完成平面密铺(是平铺问题一类)，如下图：
   

    平铺问题是天津公务员行测数量关系中一类重要的平面几何问题，着重考察是正多边形的平铺问题。并且可以延伸出圆的平铺问题。我们先看一下下面的天津公务员行测数量例题。
    【例题】在用多边形对平面进行密铺时，相拼接的边相等，每个拼接点处各个角的和为360°，我们称其可以完成平面密铺。那么一下哪种图形不能单独完成平面密铺?(
)
    A.正三角形 B.正方形
    C.正六边形 D.正八边形
    这道题不算难，我们可以通过生活经验就可以得到答案。正三角形当然可以铺满平面，正方形也可以铺满平面，(类似我们常见的地板砖)。正六边形则类似自然界的蜂窝状分布，也可以铺满一个平面。如果我们要严格的来证明的话，正多边形的内角是，并且内角必须是360的因数，这样才能保证几个角对在一起可以不留缝隙。满足这个条件的n只有3,4,6
。
    所以可以铺满平面的正多边形是正三角形，正方形和正六边形。
    如果我们考虑一些圆铺满一个平面呢(圆与圆之间可以有交叠)。我们套用正多边形平铺平面的结论，一个正多边形可以对应着一个圆，一个正多边形铺满一个平面对应着一种圆铺满平面的方式
   

   

   

    很容易发现，最后一种情况也就是六边形对应的圆的平铺所用的圆最少。这是一个很有用的结论，因为有时候有的题目会问你用最少的圆覆盖一个形状，这时候圆和圆的交叠方式就起到至关重要的作用，我们知道六边形对应的圆的平铺时候圆与圆交接部分最小，这就意味着所“浪费”的面积最小，这样我们就可以覆盖一个形状时候使用的圆最少。
    【例】为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到?(
)
    A. 4 B. 7
    C. 6 D. 9
    这道题就是要用最少的圆覆盖一个形状——一个更大圆。通过我们刚才的讲解，我们确定半径为5米的小圆之间的分布方式是以六边形密铺的方式分布的。这道题我们可以转换为用半径5米的小圆的内接正六边形密铺铺满一个半径为10米的圆，如果这些正六边形可以覆盖这个半径10米的圆，那么那些半径5米的圆也可以通过正六边形的扩展来盖满整个平面。
   

    如果想用尽可能少的正六边形覆盖这个大圆，我们可以采取上图一样的覆盖方式，我们把一个正六边形放在大圆圆心的位置，然后在这个中间的正六边形周围围上六个正六边形，正好可以盖满这个大圆，用了七个正六边形，所以用七个小圆也可以覆盖满这个大圆。
    平铺问题是平面几何问题中一类很有意思的问题，我们要正确把握正多边形的密铺方式以及对应的圆的平铺方式，这类问题就会迎刃而解。