国考数学运算必会——解不定方程

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国考数学运算必会——解不定方程。方程思想是考生使用最广泛的方法，涉及设、列、解三部分内容，题型可分为一般方程，方程组，不定方程以及不定方程组问题。其中考生普遍认为不定方程及不定方程组的解法困难，然而，不定方程问题又是考试重点题型之一，所以需要考生备考时能够把握解题思路。以下将分别使用数字特性，奇偶特性，尾数法，代入排除法，赋零法及配系数法来帮助大家梳理解题思路。
    一、不定方程
    不定方程通常指两个未知数由题意只能列出一个方程的情况，如果想求出未知数的具体值，就需要题干中有对未知数的条件设置，如果没有限定只能用代入排除解出具体值。如：
    【例1】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )
    A.3B.4
    C.7D.13
    【解析】设大盒x个，小盒y个，则由题意得12x+5y=99。由奇偶特性有12x为偶数，而5y需要为奇数才能使得等式成立，因此5y的尾数只能是5，那么12x的尾数只能是4。因此x=2或x=7，代入当x=2时可得y=15;当x=7时y=3，但由于x+y=10，不合题意，舍去。所以两种包装盒相差为15-2=13个，选D。
    二、不定方程组
    不定方程组通常指三个未知数由题意可列出两个方程的情况，通常可以利用加减消元法去除一个未知数，然后按照不定方程的解法求解。如：
    【例2】20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比：
    A.两者一样多B.买九折票的多1人
    C.买全价票的多2人D.买九折票的多4人
    【解析】设全价票x张;九折票y张;五折票z张，则有：

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    化简可得
    x+y+z=20
    10x+9y+5z=118
    要知x与y的关系，消元z，可得5x+4y=18，奇偶性x要为偶数，那么只有x=y=2的时候，等式成立。选A。
    【例3】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?( )
    A.1B.2
    C.3D.4
    【解析】解法一：设买盖饭、水饺、面条的人分别有x、y、z，则

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消去z，得6x-2y=6，即y=3(x-1)，由于x，y都是整数，所以y应为3的倍数，由题意可知，y最多取3，选C。
    解法二： 观察二式发现15x，9z，60都是3的倍数。那么7y也应该是3的倍数，所以y应该是3的倍数，满足条件的选项只有C。
    【例4】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?( )
    A. 21元B. 11元
    C. 10元D. 17元

    【解析】解法一：设签字笔每支x元，圆珠笔每支y元，铅笔每支z元，则可得

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，(1)×3-(2)×2=x+y+z=10，选C。
    解法二：设签字笔每支x元，圆珠笔每支y元，铅笔每支z元，则可得

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，3个未知数，2个方程，无法解出所有未知数，因此我们可以令系数稍大的未知数y=0，然后可求出x=11，z=-1，即x+y+z=10，选C。
    【华图提示】解法一配系数巧妙，在考场中，由于时间紧张，考生未必想到。然而，系数一般是出题人巧妙设计，鼓励考生尝试。使用解法二时要注意题干要求的是整体和，当求单一个体值时不能用设零法。
    通过这几道例题希望大家对不定方程问题的解法有所了解，并在日后的练习中熟练运用。当然以上思想只是解题的方法之一，最终的目的是帮助大家梳理思路希望大家以此提高做题的速度和准确率。华图祝各位考生考试顺利，勇夺头筹。