2016年国考行测数量关系备考：同余问题

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生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人;聪明的你知道该年级共有学生多少名吗?
    假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
    [分析]
    1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b(modm)
    2、同余的重要性质及举例。
    〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然)
    〈2〉若a≡b(modm)，则b≡a(modm)
    〈3〉若a≡b(modm)，b≡c(modm)则a≡c(modm)
    〈4〉若a≡b(modm)，则ac≡bc(modm)
    〈5〉若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac=bd(modm)
    〈6〉若a≡b(modm)则an≡bm(modm)
    其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"
    注意：一般地同余没有"可除性"，但是：
    如果：ac=bc(modm)且(c，m)=1则a≡b(modm)
    3、整数分类：
    〈1〉用2来将整数分类，分为两类：
    1，3，5，7，9，……(奇数)
    0，2，4，6，8，……(偶数)
    〈2〉用3来将整数分类，分为三类：
    0，3，6，9，12，……(被3除余数是0)
    1，4，7，10，13，……(被3除余数是1)
    2，5，8，11，14，……(被3除余数是2)
    〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：
    0(mod6)：0，6，12，18，24，……
    1(mod6)：1，7，13，19，25，……
    2(mod6)：2，8，14，20，26，……
    3(mod6)：3，9，15，21，27，……
    4(mod6)：4，10，16，22，29，……
    5(mod6)：5，11，17，23，29，……
    [经典例题]
    例1：求437×309×1993被7除的余数。
    思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢?
    473≡3(mod7)
    309≡1(mod7)
    由"同余的可乘性"知：
    437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)
    又因为1993≡5(mod7)
    所以：437×309×1993≡3×5(mod7)
    ≡15(mod7)≡1(mod7)
    即：437×309×1993被7除余1。
    例2：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?
    思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
    即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?
    0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是
    0，1，3，2，3，1，0，……
    结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：
    0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
    可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
    70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
    思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。
    例4、分别求满足下列条件的最小自然数：
    (1)用3除余1，用5除余1，用7除余1。
    (2)用3除余2，用5除余1，用7除余1。
    (3)用3除余1，用5除余2，用7除余2。
    (4)用3除余2，用7除余4，用11除余1。
    思路分析：
    (1)该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106
    (2)该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即
    1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。
    36≡0(mod3)，71≡2(mod3)，符合条件的最小的数是71。
    (3)我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……
    从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
    2(mod3)，37≡(mod3)、因此符合条件的最小的数是37。
    (4)我们从被11除余1的数中寻找答案。
    1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……
    1(mod3); 1(mod7)，不符合
    12≡0(mod3)， 12≡5(mod7) 不符合
    23≡2(mod3)， 23≡2(mod7) 不符合
    34≡1(mod3)， 34≡6(mod7) 不符合
    45≡0(mod3)， 45≡3(mod7) 不符合
    56≡2(mod3)， 56≡0(mod7) 不符合
    67≡1(mod3)， 67≡4(mod7) 不符合
    78≡0(mod3)， 78≡1(mod7) 不符合
    89≡2(mod3)， 89≡5(mod7) 不符合
    100≡1(mod3)， 100≡2(mod7) 不符合
    122≡2(mod3)， 122≡3(mod7) 不符合
    133≡1(mod3)， 133≡0(mod7) 不符合
    144≡1(mod3)， 144≡4(mod7) 不符合
    155≡2(mod3)，155≡1(mod7) 不符合
    166≡1(mod3)，166≡5(mod7) 不符合
    177≡0(mod3)，177≡2(mod7) 不符合
    188≡2(mod3)，188≡6(mod7) 不符合
    199≡1(mod3)，199≡3(mod7) 不符合
    210≡0(mod3)，210≡0(mod7) 不符合
    221≡2(mod3)，221≡4(mod7) 符合
    因此符合条件的数是221。
    例5 判断以下计算是否正确
    (1) 42784×3968267=1697598942346
    (2) 42784×3968267=1697598981248
    思路分析：若直接将右边算出，就可判断
    41784×3968267=169778335328，可知以上两结果均是错的;但是计算量太大。
    如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。
    (1)从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。
    (2)右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是
    4+2+7+8+4=25， 25≡7(mod9)
    3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5(mod9)
    42784≡7(mod9);3968267≡5(mod9)
    42784×3968267≡35(mod9)
    ≡8(mod9)
    (1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8)≡3(mod9)
    因此(2)式不成立
    以上是用"除9取余数"来验证结果是否正确，常被称为"弃九法"。
    不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。
    习题
    1、 求16×941×1611被7除的余数。
    3、 判断结果是否正确：(1)5483×9117=49888511
    (2)1226452÷2683=334
    4、 乘法算式
    3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗?
    5、 13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少?