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1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)
2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1
3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
A.256人 B.250人 C.225人 D.196人 (2002年A类真题)
解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数：16×16=256(人)。所以，正确答案为A。
例2
参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?
分析
如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
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解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)÷2=17
方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289(人)
下面几道习题供大家练习：
1.
小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：
A.1元 B.2元 C.3元 D.4元 (2005年中央真题)
2. 某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少?
答案：1.C 2. 500人
例1 222-100-112的值：
A366B363C263D266
解析：这类题可先运用平方差公式解答。a2-b2=(a+b)(a-b)，222-112=(22+11)(22-11)=363，然后再363-100=263。故本题正确答案为C。
例2 (33+22)2的值：
A3 125B3 025C3 015D3 020
解析：此类题可用平方公式去解答。(a+b)2=a2+2ab+b2，即332+2×33×22+222=1 089+1 452+484=3
025。故本题的正确答案为B。
例3 28×32+28×44的值：
A2 128B2 138C2 148D2 158
解析：此题中含有相同因数，可用公式a×b+a×c=a×(b+c)来计算，即28×(32+44)=28×76=2 128。故本题的正确答案为A。
例4 如果N=2×3×5×7×121，则下列哪一项可能是整数?
A79N/110B17N/38CN/72D11N/49
解析：在四个选项中，A选项的分母110可分解为2×5×11，然后带入A选项即是(79×2×3×5×7×121)÷(2×5×11)，这样分子和分母中的2、5可以对消，分子中的121÷11=11，所以，分子就变成79×3×7×11，分母是1，商为整数，而B、C、D则不能。故本题正确答案为A。
快速心算法
例1 做一个彩球需用8种颜色的彩纸，问做同样的4个彩球需用多少种颜色的彩纸?
A32B24C16D8
解析：仍用8种颜色的彩纸，A起干扰作用，切莫中了出题人的圈套。故本题的正确答案为D。
例2 甲的年龄是乙年龄的1倍，乙是30岁，问甲是多少岁?
A60B30C40D50
解析：本题说的甲与乙实际上是同岁，即30岁，切莫将1倍视为多1倍，即60岁，那就中了出题人的圈套。故本题的正确答案为B。
加“1”计算法
例1 一条街长200米，街道两边每隔4米栽一棵核桃树，问两边共栽多少棵核桃树?
A50B51C100D102
解析：本题如果选A、B或选C都不对，因为(200÷4+1)×2=102。应注意两点：一是每边起始点要种1棵，这样每边就要种200÷4+1=51(棵);二是两边共种多少棵，还需乘2，即51×2=102(棵)。故本题正确答案为D。
种树棵数或放花盆数=总长÷间距+1
例2 在一个圆形池子边上每隔2米摆放一盆花，池周边共长80米，共需摆多少盆花?
A50B40C41D82
解析：这道题因为池周边是圆形的，长80米，第一盆既是开始放的一盆，同时又是最后的一盆，所以不用加1盆，80÷2=40(盆)。在一条没有终端的圆形池边种树或放花的盆数=总长÷间距。故本题的正确答案为B。
减“1”计算法
例1 小马家住在第5层楼，如果每层楼之间楼梯台阶数都是16，那么小马每次回家要爬多少个楼梯台阶?
A80B60C64D48
解析：住在5层的住户，因为1层不需要上楼梯，只需爬2～5层的楼梯台阶就可以了。所以本题的答案为16×(5-1)=64。故本题的正确答案为C。
楼梯台阶数=层间台阶数×(层数-1)
例2 小刘家在某楼四门栋2层与4层各有一套住房。每层楼梯的台阶数都是18，那么小刘每次从4层的住房下到2层的住房，共需下多少个楼梯台阶?
A36B54C18D68
解析：因为小刘只下了两层的楼梯台阶，可直接用(4-2)×18=36即可。故本题的正确答案为A。
大小数判断法
例1 请判断4/5，2/3，5/7，7/9的大小关系<
1.有一队士兵,排成了一个方阵,最外层一周共有240人,问这个方阵共有多少人?
2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?
3.六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?
4.三年级(1)班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形一周共有多少名学生?三(1)班参加体操表演的共有多少人?
5.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?
方阵练习答案
(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)
(2)(20-2×3-1)×4=42(个) (20-40×4×4=256(个)
(3)最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20(盆)
(4)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)
(5)最外层松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)
共有松柏树是:(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵) 有0人推荐
方阵的基本特点:
(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4
例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)
答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)
答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?
分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。
(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×8=260(人)
解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树:7×7-25=24(棵)
(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)
杨树7×7-25=24(棵)
答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。 |
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发表于 2017-7-29 18:47:05