2015年公务员：拉灯问题解题方法

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拉灯问题是困惑很多考生的难题,特别是当灯的总数量比较大的时候,如何来确定此类问题最终亮着的或灭掉的灯的数量是此类问题的关键。
    为帮助考生掌握此类题目答题方法,下面,京佳教育主要从以下几个题型具体分析解决此类问题的思路。
    　　一、初等拉灯问题---倍数、约数
    例1： 走廊里有10盏电灯,从1到10编号,开始时电灯全部关闭.有10个学生依次通过走廊,第1个学生把所有的灯绳都拉了一下,第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下,第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下.假定每拉动一次灯绳,该灯的亮与不亮就改变一次.试判定：当这10个学生通过走廊后,走廊里有多少盏灯是亮的?
    A.2 B.3 C.4 D.5
    分析：
    (1)原来电灯全部关闭,拉一下,亮着;拉两下,灭了;拉三下,亮着.因此,灯绳被拉动奇数次的灯亮着.
    (2)可从最简单的情况考虑,把拉过某号的学生号码写出来寻找规律,如1号是第1个学生拉过,4是1,2,4号拉过,6是1,2,3,4号学生拉过,10是1,2,5,10号学生拉过,也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数.由自然数因数分解的性质知,只有当i是平方数时,i的约数的个数才是奇数,所以只有1,4,9号灯亮着.
    (1)原来电灯全亮着,拉一下,灭了;拉两下,亮着;拉三下,灭了.因此,灯绳被拉动奇数次的灯灭了.此题先求灭着的灯的数量,再求亮着的灯.
    (2)思路同例1,被拉过奇数次的是约数为奇数个的灯,也就是灯号为平方数的灯,
    1000以内：最小有1的平方,最大有31的平方.灭掉的灯有31盏,因此亮着灯有1000-31=969盏.
    (3)注意：看清本题要求,不能选31,正确答案选C.

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    　　二、拉登难题—三集合容斥原理型
    例4： 有1000盏亮着的灯,各有一个拉线开关控制着.现按其顺序编号为1、2、3、4、5······1000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,三次拉完后,亮着的电灯有多少盏?( )
    A.468 B.499 C.501 D.532
    分析：
    (1) 原来电灯亮着,拉一下,灭了;拉两下,亮着;拉三下,灭了.因此,灯绳被拉动奇数次的灯灭了.此题先求灭着的灯的数量,再求亮着的灯.
    (2) 注意：此题目拉灯的方法不同前三个例题.编号为2的倍数,3的倍数,5的倍数的灯一次都拉.可以据此,看做是三集和问题.
    (3) 三个圆圈分别代表：上圆---编号为2的倍数的灯,有500盏;左圆---编号为3的倍数的灯,有333盏灯,右圆---编号为5的倍数的灯,有200盏.其灯的亮或灭情况见图,
    (4) 数据计算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166个;同理,能被2,5整除的有200个,能被3,5整除的有66个,能同时被2.3.5整除的有33个.请学员把每部分的数据填到上图中,图中四部分灭的灯有：上圆：500-166-100+33=267;左圆：333-166-66+33=134;右圆：200-100-66+33=67;中心灭：33,四部分灭着的灯共有：267+134+67+33=501,所有亮着灯有1000-501=499.选B.
    (5) 注意看清题目,501为易错选项.
    拉灯问题,题目本身看起来操作繁琐,但是其中蕴含的数学道理不难,熟练掌握此类型题目的解决思路,熟能生巧.