2015年上半年联考：余数问题如何解

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例题：商店有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一共顾客买的货物重量是另外一个的两倍，商店剩下的一箱货物重多少千克?
    A.16 B.18 C.19 D.20
    这个题有点难度，为什么放到这里呢?因为它会用到整除余数的思路。如何突破呢?我们把六箱货物的总和求起来。一共是119千克。再看一个条件，两个顾客买走了其中五箱，还剩下一箱。119=5箱+1箱，那么如果我求出买走的五箱就可以了?已知一共顾客买的货物重量是另外一个的两倍，假设一个顾客买的是 x，另一个多的买的2x，那么五箱=3x，换句话说买走的5箱是3的倍数。换句话119=3x+1箱。突破口出来了，119除以3余数是2，那么余2的尾巴是剩下的1箱产生的。也就是除以3余数是2，只有D20是除以3余2的。通过我们的余数问题解决的。
    这是我们刚才讲的第一个知识点，再看看余同差同的问题。
    例5：自然数P满足以下条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。如果：100
    A.不存在 B.1个 C.2个 D.3个
    这个题就是求通项公式，余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数做周期。到底是出现余同差同和同?余数不一样，和不一样，差同，都是1。公倍数，10、9、8的公倍数是360，因此360n-1是同时满足这三个条件的通项公式。n是自然数，P=360n-1，大于100小于 1000，n=1，n=2都可以，有两个，因此P有两个。
    例6：一个三位数除以9余7 ，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有?
    A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
    你要找到满足三个条件的通项公式，那我们看余数不一样，差不一样，和同后两个满足，都是7，先算后两个。除以5余2，除以4余3，和同加和，20n+7，满足这两个的通项公式，n是自然数。满足个需求，除以9余7,20n+7可以看成除以20余7，代表后两个，出现了余数相同，那么就是 180n+7，同时满足除以9余7 ，除以5余2，除以4余3的通项公式。100≤180n+7≤1000，n=1、2、3、4、5，这样的三位数一共有5个。
    最后说一个，如果余同、差同、和同都没有呢?我们所谓的“余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数做周期”，就是告诉你这样做会简便一些。那么如果三个都没有可不可以做呢?也可以。180n+7分解一下，180是什么?无论有没有余同差同，180永远是三个除数的最小公倍数，不用管是否有余同和同差同。7是什么?是同时满足除以这几个数的最小自然数。难就在于这里。如果三个都没有的，那就只能试试。那么这个写出来就是mn+x，n是自然数，m是最小公倍数，x是满足三种余数的最小自然数。这是我对这个公式的详细解读，m好办n好办，就是x不好求，需要尝试。