2014年公务员考试行测热点：不定方程详解

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1.定义
    所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
    2.常见形式
    在各类公务员考试中，最常见的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c,其中a、b、c为已知整数x、y、为所求自然数。
    3.解法
    不定方程的解法主要有一、利用数字特性解题;二、代入排除法;三、赋特值的方法。下面结合真题来给大家介绍一下这三个方法怎么用。
    【例1】(2012国考)某儿童艺术培训中心有5名钢琴师与6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领，刚好能分配完，且每位老师带的学生数量都是质数。后来由于学生数量减少，培训中心只留下了4名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心剩多少学员? ( )
    A、36 B、37 C、39 D、41
    答案：D解析：设每位钢琴师带x人，拉丁舞老师带y人，则根据题意，5x+6y=76，其中x、y均为质数。这是典型的不定方程，根据奇偶特性，6y 为偶数，5x+6y=76，即5x与6y的和为偶数，所以5x也应该为偶数，推出x为偶数，结合前面的要求，x还是一个质数，所以可以确定x为偶质数，也就是x=2，进一步推出y=11，根据题目意思，目前培训中心剩的学员数量为4×2+3×11=41人。
    总结：本题主要考查数字特性在不定方程中的运用。
    【例2】(2012国考)超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装装5个苹果，共用了十多个盒子，刚好装完。问两种包装盒相差多少个? ( )
    A、3 B、4 C、7 D、13
    答案：D解析：设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，(要求X+Y﹥10)，这是非常典型的不定方程，结合奇偶特性，12x为偶数，12x与5y的和为奇数，所以5y一定是奇数，并且5y的尾数一定是5，同时可以推出12x的尾数一定是4，所以x可能等于2或者7，若x=2，则 y=15，满足条件，所以两种包装盒相差15-2=13个。(若x=7，则y=3，不满足X+Y﹥10这个条件，舍去)
    总结：本题主要考查数字特性在不定方程中的运用。

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    【例3】(2012国考)三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的作品列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等。则下面说法正确的是 ( )
    A、A等与B等共6幅 B、B等和C等共7幅
    C、A最多有5幅 D、A等比C等少5幅
    答案：D解析：设A等作品有x幅，B等作品有y幅，C等作品有z幅，则
    (要求x、y、z都为正整数)，这也是非常典型的不定方程组问题。对于这样的问题，我们可以采用代入排除法。
    (1)代入A选项，即x+y=6，则z=4，又因为3x+2y+z﹥2(x+y)+z，代入即可得到3x+2y+z﹥16，与原方程3x+2y+z=15矛盾，排除。
    (2)代入B选项，即y+z=7，则x=3，又因为3x+2y+z﹥3x+(y+z)，代入即可得到3x+2y+z﹥16，与原方程3x+2y+z=15矛盾，排除。
    (3)代入C选项，若x=5，则3x+2y+z﹥3x，代入即可得到3x+2y+z﹥16，与原方程3x+2y+z=15矛盾，排除。
    A、B、C都排除，所以选D。