2014天津选调生行测数学运算排列组合问题之插板法

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排列组合问题在天津选调生行测数量考试中是一种非常常见的题型，其知识涵盖面非常的广，且考察考生多种能力的综合运用。考生要在掌握其排列组合公式和原理的基础上多加练习，积累做题经验，才能做到临阵不乱。排列组合问题常用的解题方法有特殊定位法、逆向考虑法、捆绑法、插空法、隔板法、归一法、线排法等。
    在此天津华图主要为考生介绍其中一种常用的方法——插板法，以备考生复习之用。
    插板法指的是在n个元素间形成的(n-1)个空隙插入b个板，从而将n个元素分成(b+1)部分的方法。
    在使用插板法的时候，试题必须满足以下三个条件：
    (1)n个元素必须相同;
    (2)所分成的每一部分至少分得一个元素;
    (3)分成的组别彼此相异。
    我们先看一个最简单的例子，来详细的说明插板法的应用。
    例：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况?
    首先这10个小球相同，要分成3组，且每组一个，满足插板法的要求，采用插板法。10个小球形成9个空隙，要分成3组，则应插入2个板，则有C(9，2)=36种方法。
    我们在使用插板法的时候，首先要明确插板法的应用条件，当试题的条件不够满足的时候，可以通过增加某些元素来得到使用插板法的目的。
    例1：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况?
    这个试题很明显不满足条件(2)，因为每个箱子里面可以不放小球，如果我们先借来3个小球，(在这3个箱子里面分别放一个球)，此时也就是每个箱子里面至少有一个球，也就满足了条件(2)即：题目就变成了把13个相同的小球放入3个不同的箱子，此时就可以采用插板法，即C(12，2)=66种。
    例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况?
    由于试题不满足条件(2)，所以我们需要通过凑元素来满足，第2个箱子至少放3个，则可以先在箱子里面放进去2个球，此时剩余8个;由于第3个箱子里面可以不放球，所以我们可以先在这个箱子里面放一个球，此时满足条件(2)，试题就转化为“把9个相同的小球放入到3个不同箱子”，采用插板法有C(8，2)=28种。
    例3：有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法?
    A.36 B.256 C.512 D.1024
    【解析】在解答试题的时候，需要把握以下几点：(1)每天至少一粒;(2)没有规定吃完时间(板的数量不确定)。首先我们对试题转化成容易理解的形式，“1”表示的是1粒糖，()表示空位。此时试题就转化为如下形式：
    1()1()1()1()1()1()1()1()1()1
    由于不限制吃完的天数，所以板的数量不确定，也就是每个空当可以选择插入板，也可以不插入，即有2种情况，由于共有9个空当，所以有2^9=512种，故本题的正确答案为C选项。