2017京考行测备考：极限思想之一元二次函数求最值

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一、知识铺垫
1、什么是极限思想
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如一条船顺水而下用时t1，逆流而上用时t2，则当水速增大时，t1+t2如何变化?当水速增大时，t1会变小，而t2会变大，但是，t1与t2，哪个变化大不知道，所以t1+t2如何变化也不清楚。此时如果改用极限的思想来思考的话就会比较简单，假设水速增大到无限大，则此船肯定回不来了，即t2无限大，此时虽然t1变小，但相对于t2而言，t1的变化幅度要小得多。所以，t1+t2变大了。
2、适用极限思想的题的题型特征
题干或问法中出现最大或最小、最多或最少、至多或至少。
3、极限思想的核心：凑、均、等、接近
二、极限思想之一元二次函数求最值的应用
一元二次函数的基本形式是

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(当a>0时，y有最小值，当a
1、如何理解“均”：
(1)根据数论知识知道，任何一元二次多项式均可以写成两个一次因式的乘积的形式，再通过正、负号以及系数的变形，两个一次因式中的未知量可以在二者作和中消去，这时，和就是一个具体的数。那么，问题就转化成：两个和一定的数，求乘积的值。接下来只需要依照均值不等式原理即可求出最大值或最小值。
(2)通过函数图像理解。一元二次函数的图像为轴对称(对称轴与y轴平行)图形，在与对称轴的交点处函数有最值。图像与x轴的交点即为一元二次函数的两个x值，对应y值为函数值。显然，这两个x值关于对称轴对称，当x轴上下平行移动时，所产生的两个x值的和一定，当两x值相等时，即到最值点处，对应y值为最大值或最小值。
   
   

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2、解题方法：
(1)多因式分解法：将一元二次多项式因式分解成两个和一定的一次因式的积的形式，另两个一次因式相等，求得x值;
(2)公式法：利用一元二次方程求根公式，可知两根相等时存在最值，故x=

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(3)求导法：对一元二次多项式求导，得一元一次多项式，令其等于0，求得x值。
在公务员的考试题目中，一元二次函数往往是需要根据题意列出来的，问法有2种：
①求x取什么时，y取到极值;
②求y的极值。(第一种相对较简单)
【例题】某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额?
【中公分析】设旅行团人数为x人，营业额为y元，则根据题意列出一元二次函数如下：y=x[800-10(x-30)]=-10x
         
+1100x，
①y=-10x(x-110)，两个一次因式为-x和x-110，根据-x=x-110，求得x=55;
②当x=

=

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=55时，y取得最大值;
③对一元二次函数求导并取值为0，得：-20x+1100=0，即x=55;所以，当旅行团为55人时，旅行社可以获得最大营业额。