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2013国考课堂数量关系之“余数同余”问题

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发表于 2016-6-20 13:24:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
在公务员考试的数量关系模块中,余数相关问题是考查的传统重点,也是令很多考生犯难的一种题型。现对常见的几类余数同余题目给予分析,帮助考生轻松解决此类问题。
按照常考的题型,余数问题可以分为以下几类:
一、代入排除类型
【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操,只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?()
A.102 B.98 C.104 D.108
【解析】像这样的题目直接代入选项,看看哪个符合题目所给的条件,哪个就是正确的答案,毫无疑问,选项108满足条件,选择D。
二、余数关系式和恒等式的应用
余数的关系式和恒等式比较简单,因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了,余数基本关系式:被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数),但是在这里需要强调两点:
1、余数是有范围的(0≤余数<除数),这需要引起大家足够的重视,因为这是某些题目的突破口。
2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握:被除数=除数×商+余数。
【例2】两个整数相除,商是5,余数是11,被除数、除数、商及余数的和是99,求被除数是多少?
A.12 B.41 C.67 D.71
【解析】余数是11,因此,根据余数的范围(0≤余数<除数),我们能够确定除数>11。除数为整数,所以除数≥12,根据余数的基本恒等式:被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71,因此被除数最小为71,答案选择D选项。
【例3】有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么,这四个自然数的和是?
A. 216 B. 108 C. 314 D. 348
【解析】利用余数基本恒等式:被除数=除数×商+余数,有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数,于是A可以被5整除,同理,A还可以被6、7整除,因此,A可以表示为5、6、7的公倍数,即210n。由于A、B、C、D的和不超过400,所以A只能等于210,从而可以求出B=41、C=34、D=29,得到A+B+C+D=314,选C。
像上面这两个题目,就是活用这两个知识点来解题的,所以在对这类问题的练习过程中,一定要牢牢地把握这两点。
三、同余问题
这类问题在考试中比较常见,主要是从除数与余数的关系入手,来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀,如下表所示:
   
   
       
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发表于 2016-6-20 14:35:36 | 显示全部楼层

同余问题核心口诀
“最小公倍数作周期,余同取余,和同加和,差同减差”
余同取余:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,这个数是60n+1
和同加和:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,这个数是60n+7
差同减差:“一个数除以4余3,除以5余4,除以6余5”,这个数是60n-1
说明:在这里,n的取值范围为整数,可以为正数也可以取负数。
【例4】一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,请问这个数如何表示?
【解析】设这个数为A,则A除以4余1,除以5余1,除以6余1,那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60,所以A-1就可以表示为60n,因此,A=60n+1。
【例5】一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,请问这个数如何表示?
【解析】设这个数为A,如果A除以4余3,除以5余2,除以6余1,我们知道除数与对应余数的和相同,对应的为“和同加和”,满足这三个条件的数可以表示为:A= 60n+7。
【例6】一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,请问这个数如何表示?
【解析】除以除以4余1,除以5余2,除以6余3,我们知道除数与对应余数的差相同,对应的为“差同减差”,满足这三个条件的数可以表示为:60n-1。
根据以上三道例题的结论,我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如:
【例7】一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有多少个?
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
解析:除以5余2,除以4余3,我们知道除数与对应余数的和相同,对应的为“和同加和”,满足这两个条件的数可以表示为,P=20n+7,表示除以20余7;再配上之前的条件除以9余7,对应的为“余同取余”,我们得到这个数可以表示为180n+7,由于这个数为三位数,所以n可以取1、2、3、4、5,所以共5个。
由此可以看出,针对行测考试中出现的此类问题,只要大家掌握余数的基本点,包括关系式和恒等式等,牢记同余问题的解决口诀,清楚公倍数(或最小公倍数)的求法,再遇到类似的余数同余问题,就能轻松、快速地解决掉。
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