2013国考行测暑期向前冲第六周系列3数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解

中公

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容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算。中公教育专家在此进行详细解读。
一、容斥原理
在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示。
公式：A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-重合部分的
【示例一】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

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总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的
【示例二】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
3.用文氏图解题
文氏图又称韦恩图，能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数，最适合描述3个集合的情况。
【例题】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？

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A.34 B.35
C.36 D.37
中公解析：画出文氏图。低温柔度、可溶物含量、接缝剪切性能不合格的一共有8+10+9=27种。在上述计算中，两项不合格的产品（图中灰色的部分）被重复计算了1次，三项不合格的产品（黑色的部分）被重复计算了2次。应用容斥原理，不合格的产品共有27-1×7-2×1=18种，合格的有52-18=34种。
二、抽屉原理
能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少……，才能保证……”字样。
抽屉原理1
将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。（至少有2件物品在同一个抽屉）
抽屉原理2
将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。（至少有m+1件物品在同一个抽屉）
下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。
【示例一】将5件物品放到3个抽屉里，要想保证任一个抽屉的物品最少，只能每个抽屉放一件，有5件物品，放了3件，还剩5-3×1=2件，这两件只能分别放入两个抽屉中，这样物品最多的抽屉中也只有2件物品。
即当物品数比抽屉数多时，不管怎么放，总有一个抽屉至少有2件物品。
【示例二】将10件物品放到3个抽屉里呢？将22件物品放到5个抽屉里呢？
同样，按照前面的思路，要想保证任一个抽屉的物品数都最少，那么只能先平均放。
10÷3=3……1，则先每个抽屉放3件，还剩余10－3×3=1件，随便放入一个抽屉中，则这个抽屉中的物品数为3+1=4件。
22÷5=4……2，则先每个抽屉放4件，还剩余22－4×5=2件，分别放入两个抽屉中，则这两个抽屉中的物品数为4+1=5件。
即如果物体数大于抽屉数的m倍，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1。
1.利用抽屉原理解题
一般来说，求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理，其解题流程如下：
（1）找出题干中物品对应的量；
（2）合理构造抽屉（简单问题中抽屉明显，找出即可）；
（3）利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
【例题1】把154本书分给某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分得4本或4本以上的书，那么这个班最多有多少名学生？
A.77B.54C.51D.50
中公解析：此题答案为C。154本书 154件物品，同学 抽屉。
〔找出物品对应量、抽屉〕
至少有一位同学会分得4本或4本以上的书 至少有一个抽屉中有不少于4本书。
根据抽屉原理2，则有m+1=4，即m=3。
154÷3=51……1，即n=51，那么这个班最多有51名学生。〔利用抽屉原理2〕
2.考虑最差（最不利）情况
抽屉问题所求多为极端情况，即从最差的情况考虑。对于“一共有n个抽屉，要有（取）多少件物品，才能保证至少有一个抽屉中有m个物体”，即求物品总数时，考虑最差情况这一方法的使用非常有效。具体思路如下：
最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有m个物品，因此只能将物品均匀放入n个抽屉中。当物品总数=n×（m-1）时，每个抽屉中均有m-1个物品，此时再多1个，即可保证有1个抽屉中有m个物品。因此物品总数为n×（m-1）+1。
【例题2】从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同？
A.21B.22C.23D.24
中公解析：此题答案为C。一副完整的扑克牌包括大王、小王；红桃、方块、黑桃、梅花各13张。
至少抽出多少张牌→求取物品的件数，考虑最差情况。
要求6张牌的花色相同，最差情况即红桃、方块、黑桃、梅花各抽出5张，再加上大王、小王，此时共取出了4×5＋2=22张，此时若再取一张，则一定有一种花色的牌有6张。即至少取出23张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。