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一、方程的概念
从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。
1.一般方程：未知数的个数恰好等于方程的个数。
2.不定方程：未知数的个数多于方程的个数。
二、设未知数的方法
1、直接设：所求量为基本未知量，就直接设这个基本未知量为X。
例：某单位举办庆国庆茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。那么原来每箱苹果重多少千克?
A.16 B.24 C.32 D.36
答案：C。设原来每箱苹果重X千克，由此得出方程
(x-24)×4=x，解得x=32。
2、间接设：所问量为复合未知量，就设基本未知量为X，再间接表示出复合未知量。
例：甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/3，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?
A.9000 B.3600 C.6000 D.4500
答案：B。解析：根据题目中的比例关系，可知造林总亩数为5、4、3的倍数，设造林的总亩数为60x亩，甲队造林的亩数为12x，乙队为15x，丙队为20x，则依题意得：12x+15x+20x+3900=60x，解得：x=300。所以甲的植树亩数为12×300=3600(亩)。
三、列方程技巧——寻找等量关系
1、等量构造法
如果在题干中发现“等”“是”“比……多(少)”，我们可以通过这些标志性的语句找到等量关系列出方程。
数学里一些基本的公式，常用的数量关系也能构造成等量关系。(例如利润问题、行程问题、工程问题公式等)。
例：光明小学今年植树1080棵，比去年植树棵数的2倍还多98棵。去年植树多少棵?
解析：根据关键字“比……多(少)”找到等量关系：去年植树棵数×2+98棵=今年植树棵数，设去年植树棵数为x，2X+98=1080，
x=491。
2、比较构造法
将物品进行两种情况的平均分配，有些情况下有剩余，有些情况下有不足，这时就可以采用比较构造法比较两个条件之间的差别，找出其中的等量关系再列出方程。
例：将一堆苹果放进一些筐，如果每筐放12个，则多出三个苹果放不下，如果每筐放14个，则又缺5个苹果，共有多少个筐?
解析：每筐放12个比每筐放14个的剩余的数量多8个，所以每筐放12个苹果的总数比每筐放14个的总数要少8个苹果，所以得出等量关系2X=8，所以有筐4个。
四、解方程技巧
1.一般方程
①消元法
将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数,得到一个解，这叫消元法。
2.不定方程
1)数的特性
①同余。
②整除法：利用不定方程中各数除以同一个除数所得余数的关系来求解。
2X+3Y=21的自然数解。我们注意到，21除以3余0，3Y肯定除以3余0，2X=21-3Y，那么2X也应是除以3余0，这样X只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等。
例：某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C。解析：设买盖饭，水饺和面条的人数分别是x、y和z，则依题意可得15x+7y+9z=60。15x，9z，60都能被3整除，所以7x必能被3整除，x能被3整除，选C。
③奇偶性：采用最多的解不定方程的方法就是奇偶性。
不定方程5X+4Y=59，59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5……
例：某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A.36 B.37 C.39 D.41
答案：D。解析：此题初看无处入手，条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。
设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。
很明显，6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，x为偶数。然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式得y=11。
现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。
④质合性。
⑤尾数：看到一些以0或5结尾的数，想到尾数法。
不定方程5X+4Y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数;4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6结尾。
例：现有149个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是?
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：C。解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=149，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0,;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。
2)带入排除
直接将选项代入题目，看哪个选项符合题目的要求。
例：有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1和1.11的卡片各有多少张?
A.8张，31张 B.28张，11张 C.35张，11张 D.41张，1张
答案：A。解析：设写有1.1的卡片x张，1.11的卡片y张，1.1x+1.11y=43.21，,代入A，8×1.1+31×1.11=
43.21，符合题意。
专家相信考生通过以上讲解内容一定可以在备考中将方程使用得游刃有余，从而为快速答题打下牢固基础。
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发表于 2018-6-25 17:56:46