2016年行测备考：容斥问题解题原理及方法

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　　一、知识点
    1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
    如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。
    2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。
   

    例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}
    3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：
   

    例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
    4、容斥原理(包含与排除原理)：
    (用A表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则A=3)
    原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：
    第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起);
    第二步：减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)
    总结为公式：A∪B=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣
    原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：
    第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;
    第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;
    第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
    即有以下公式：
    ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- C∩A+A∩B∩C∣
    二、例题分析：
    例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
    分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。
    解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即A=10
    B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即B=6
    A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即A∩B=3
    所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。
    解2：本题可直观地用图示法解答
   

    如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。
    例2
某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
    解：设A={数学成绩90分以上的学生}
    B={语文成绩90分以上的学生}
    那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，
    ∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38
    现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
    ∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8
    点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。
    例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?
    解：设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}
    则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}
    A∪B={参加打篮球或跑步的同学}
    应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)
    例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个?
    分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。
    解：设A={100以内的5的倍数}
    B={100以内的7的倍数}
    A∩B={100以内的35的倍数}
    A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}
    则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2
    由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32
    因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68(个)
    点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。
    例5
某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?
    解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}
    由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18
    ∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2
    根据容斥原理二得：
    ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C-∣B∩C+A∩B∩C∣
    =23+27+18-(4+5+7)+2
    =54(人)
    解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。
   

    设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5(人)。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3(人)。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为;
    14+20+8+2+5+3+2=54(人)
    点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。