2016国考备考 你到 “极限”了吗

中公

在数学理念中，通常我们所认为的极限是数字无穷大或者是无穷小，但在行测理科部分，所涉及的极限一般是数与数之间无限接近的意思。最为接近的时候是两数相等或平均的时候。那么，用极限的思想解决数量关系的问题，包括有哪些方面呢?有哪些题型?如何判断是否到极限?……

极限包括均值不等式、二次函数求极值、和定最值、抽屉问题和最不利原则这几个方面，均值不等式可推出和定，差小积大，以及积定，差小和小;二次函数的求极值是可以化成与均值不等式相关的。如果问题中出现问最大/小，至多/少之类的，那么大多时候我们会考虑采用极值的方法。现在，中公教育专家就均值不等式、和定最值、最不利原则来讨论一下。
1、均值不等式
均值不等式我们以前有学过，是a+b≥2√ab。从这个公式可以推出，当a+b为一个定值，当a=b时，a*b得到最大值;而反过来，如果a*b是一个定值，当a=b时，a+b得到最小值。比如：
(1)a+b=10，a、b都是正整数，则a*b的最大值是多少?
解：很明显这是符合和定差小积大的规律的，只要另a=b=5即可，所以a*b=25。
(2)要用长为100m的篱笆围成一个四边形作为养鸡场，问这个养鸡场面积最大是多少?
解：100m的篱笆围四边形，要使面积最大，根据和定，差小积大原理，最好是围成正方形，那周长是100m，所以每边是25m，则面积最大是252=625m2。
因为二次函数求极值是可以化成和定，差小积大，或者是积定，差小和小。
y=ax2±bx+c，将式子写成ymin/max=(A-x)(B+x)，把(A-x)看出是均值不等式中的a，(B+x)看成是b，即可计算出ymin/max，或者求出x。
2、和定最值
这里的和定和上面均值不等式的和定是一样的，都是几个数的和一定，但和定最值里要求的最值，就不是几个数的积的最值了，而是参与和定计算中的某一数据所能达到的最大值或者最小值。一般情况下，当几个数的和一定时，求其中某个数的最大，那么其他数就尽可能的小;求其中某个数的最小，则其他几个数就尽可能的大。比如：
a+b+c=10，a、b、c都是正整数，且a>b>c,问(1)a所能达到的最大值/最小值是多少?
(2)a所能达到的最小值是多少?
解：(1)求a的最大值，另b和c尽可能的小，但又不可能比a大。因为a、b、c都是正整数，所以最小的c只能是1，而b要比c大又尽可能小，只能是2;那么剩下的数字7只能是a了，此时的a达到最大。
(2)求a的最小值，则b和c就尽可能的大，但又不可能比a大，所以最接近b就比a小1时是b达到最大的时候，同理，c比a小2，比b小1。我们可以运用方程法，设a为x，则b为x-1，c为x-2。a+b+c=10=x+x-1+x-2，x≈4.3，取4为a，此时b=3，c=2，还剩1，只能放到a，则a最小为5。同样的，用盈亏的思想也可以解答此题。
其他应用例题，若题目没有表明各个数各不相同，那么也就说明这些数是可以相同的。要根据具体情况具体分析。更多的应用例题可以参考一些备考书籍。
3、最不利原则
最不利原则只要掌握一些临界的方法，其实一点儿都不难。此类题型一般的问法是：至少……才能保证……;当然也有其他和一样的普通问法，比如问最少有多少，最多有多少等。
解决最不利原则题目的方法，就是将题目中所提到的条件尽可能的接近，即到达一个临界，差一丁点儿就能满足。比如经典例题：
一副完整的扑克牌有54张，问至少抽多少张才能保证抽出的扑克牌有3张花色是相同的?
解：扑克牌除了大小王各1张外，一共有4种花色，我们把大小王抽出来，其余四种花色各抽2张，这时无论如何都没办法达到3张同花色的要求，但已经达到了临界值，此时已经抽出了2+2*4=10张，只要再在任何一种花色抽出1张扑克牌，就可以达到要求。
很多最不利原则的题，都是如此先达到一个临界值，即要达到要求又未达到的情况，到了最大的极限，这个时候再任意多拿一丁点儿就可以满足要求了。
极限的几个常用题型和方法我们已简单认识完毕，总体上对比行程问题、排列组合等题型会容易一些。只要我们多加练习，很快我们就能做到只要看到一道题，潜意识就知道该往那方向去思考作答。