2014河南检察院备考：浅谈数学运算中分类讨论的思想

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分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。在公务员考试数学运算的部分试题中，有时也会涉及到这一解题方法。本文重点介绍分类讨论思想的概念和原则，通过真题分析，以期为广大考生朋友提供备考帮助。
    　　一、分类讨论思想的概念
    分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想，分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
    　　二、分类讨论应遵循的重点原则
    1. 同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。
    2. 互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。例如：某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加了田径比赛。如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误，因为必有2人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛。
    　　三、分类讨论的步骤
    用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：
    1. 先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围;
    2. 正确选择分类的标准，进行合理分类;
    3. 逐类讨论解决;
    4. 归纳并作出结论。
    　　四、真题举例
    掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面结合真题，对引起分类讨论的一些常见情况作一分析：
    1. 根据条件的不确定性分类
    有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。
    真题一：甲、乙两人分别从相距30公里的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3公里，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍。甲乙两人的速度差为( )公里/小时。
    A. 1/3 B. 1 C. 2/3 D. 1或1/3
    【京佳解析】D。路程问题。设甲的速度为每小时x公里/小时，乙的速度为每小时y公里/小时，分情况考虑如下：
    (1)3小时后，甲、乙两人未相遇，则有：3x+3y=30-3，30-5x=2(30-5y)，
    解得x=4，y=5。因此，甲乙两人的速度差为1公里/小时。
    (2)3小时后，甲、乙两人已相遇，则有：3x+3y=30+3，30-5x=2(30-5y)，
    解得x=16/3，y=17/3。因此，甲乙两人的速度差为1/3公里/小时。
    综上所示，甲、乙两人的速度差有两种情况，分别为1公里/小时和1/3公里/小时。故选D。
    2. 根据图形数量的不同分类
    涉及到几何问题时候，常用的分类方法就是依据图形数量的不同进行分类。
    真题二：下图中，共有几个三角形?( )
   

    A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
    【京佳解析】C。几何问题。整个图形是一个梯形，被分成了7块。分情况讨论：单独一块是三角形有4个，两块组成的三角形有3个，三块组成的三角形有2个，4块组成的三角形有1个，一共有10个。故选C。
    3. 排列组合问题常常需要分类
    真题三：甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法?( )
    A. 51 B. 53 C. 63 D. 67
    【京佳解析】A。组合问题。可分类考虑：(1)4女0男：1种;(2)3女1男：C(4，3)×C(4，1)=16种;(3)2女2男：C(4，2)×C(4，2)=36种，排除均来自同一科室选的2种情况，共有34种。一共有1+16+34=51种。故选A。
    分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高我们的逻辑思维能力和综合解题能力，对于培养我们思维的条理性、缜密性、科学性也至关重要。随着公务员命题复杂化的发展，分类讨论思想必然会加大在考查中的分量，也提醒备考中的广大考生平时做好功课，以不变应万变。