论特殊不定方程组系数法与特值法的关系

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在不定方程组的考察中，有时会遇到一类特殊的不定方程组，要求的为各项之和，其解法有其独特之处。
    以2008年国考第60题为例。甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱?( )
    A. 1.05元 B. 1.40元
    C. 1.85元 D. 2.10元
    我们可以很容易列出不定方程组：
    3X+7Y+Z=3.15…①
    4X+10Y+Z=4.20…②
    这道题解法有很多，最常采用的有系数法和赋值法。其实，这两种方法是互相联系的。之所以能用赋值法，就是因为此不定方程组能用系数法求解。实际上，用系数法解决此类不定方程组时，其系数是由方程组来确定的：
    aX+bY+G=A…①
    dX+eY+H=B…②
    用系数法解决此类不定方程组时，是将①乘以某个系数J与②乘以某个系数K做差，得到X+Y+Z。因此，必然有：
    aJ-dK=1…①
    bJ-eK=1…②
    GJ-HK=1…③
    在此方程组中，a,b,G,d,e,H都为常数，只有J和K为未知数。两个未知数，三个方程，不一定有解。若此方程组无解，则证明X+Y+Z的值是变化的。若此方程组有解，则证明存在这样的系数J和K，让我们求出X+Y+Z的值。即证明X+Y+Z的值是不变的，也就是说无论X，Y，Z取哪一组解X+Y+Z的值都是不变的。此时即可以任意赋值其中一项为任意数，根据方程组求出另外两项，进而求出X+Y+Z。
    因此，决定能否采用特值法的关键不是在于题目中是否有均为整数的限制，而是在于能否解出这样的系数J和K。