购物组合问题

中公

购物组合问题
所谓购物组合问题，即指在题目中给出两组若干商品的不同购买数量及总金额，来求出单件商品或另一组购物组合所需金额的问题。大体分为两类，两种商品或三种商品。只有两种商品时，相对比较简单，纯粹就是二元一次方程的求解；当有三种商品时，由于只有两个购物组合，往往需要经过等式的运算来解决问题。下面以几道真题为例，具体介绍一下该类问题的思路及计算。
例1：（2007年江西行测）
买5件甲商品和3件乙商品，需要348元，如果买3件甲商品和2件乙商品，需要216元，买一件甲商品需要多少元？
A．48          B．46      C．34       D．32
思路：两种商品的两种购物组合，要求其中一种商品的价格，建立二元一次方程组求解即可，由于只要求求出甲商品的价格，则从中消去表示乙商品的价格的未知数即可。
解析：设甲商品的售价为X元，乙商品的售价为Y元，则可列方程
5X＋3Y＝348……⑴，
3X＋2Y＝216……⑵，
⑴×2-⑵×3，得到X=348×2-216×3=48元。
即甲的售价为48元。
答案：A
例2：（2008年江西行测）
A、B、C三件衬衫的价格打折前合计1040元，打折后合计948元，已知A衬衫的打折幅度是9.5折，B衬衫的打折幅度是9折，C衬衫的打折幅度8.75折，打折前A、B两件衬衫的价格比是5：4。问打折前A、B、C三件衬衫的价格是多少元？
A.600元，400元，140元         B.300元，240元，500元
C.400元，320元，320元         D.200元，160元，680元
思路：购物问题的变型，打折前、打折后的价格之和各相当于一种购物组合，又已知A、B两件衬衫的价格比，可以建立三个三元一次方程求解即可。
解析：从题目条件可以得到，
1件A+1件B+1件C=1040元……⑴，
0.95件A+0.9件B+0.875件C=948元……⑵，
1件A：1件B=5：4……⑶
⑵-⑴×0.875，得到：
0.075件A+0.025件B=948-0.875×1040=38元，
即3件A+1件B=1520元……⑷，
代入⑶，可以得到，
1件A=400元，1件B=320元，
1件C=320元
所以打折前A、B、C三件衬衫的价格分别是400元、320元和320元。
答案：C   
   

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例3：（2007年江苏行测B）
小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购买1个计算器，3个订书机，7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器，4个订书机，10包打印纸共需要362元。小王购买了1个计算器，1个订书机，1包打印纸共需要（  ）。
A.224元         B.242元            C.124元         D.142元
思路：三种商品的两种购物组合，要求另一种购物组合的金额，可建立两个三元一次方程。利用坐标表示法，则小张的购买组合为（1，3，7）=316元，小李为（1，4，10）=362元，小王为（1，1，1）=？。则（1，3，7）-（1，1，1）=（0，2，6）=2（0，1，3），（1，4，10）-（1，1，1）=（0，3，9）=3（0，1，3），且（1，4，10）-（1，3，7）=（0，1，3），即（1，3，7）-（1，1，1）=2[（1，4，10）-（1，3，7）]，可依此求出（1，1，1）的金额。
解析：由小李、小张的购物情况可知：
1个计算器+3个订书机+7包打印纸=316元……⑴，
1个计算器+4个订书机+10包打印纸=362元……⑵，
⑵-⑴，得到：
1个订书机+3包打印纸=362-316=46元……⑶，
⑴-⑶×2或⑵-⑶×3，得到：
1个计算器+1个订书机+1包打印纸=316-46×2=224元
所以小王购买的办公用品需362－138=224元。
答案：A
例4：（2008年国家行测）
甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.2元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱？
A.1.05    B.1.4    C.1.85    D.2.1
思路：属于例4的变形，第一种购物组合为（3，7，1）=3.15元，第二种购物组合为（4，10，1）=4.2元，第三种购物组合为（1，1，1）=？。（3，7，1）-（1，1，1）=（2，6，0）=2（1，3，0），（4，10，1）-（1，1，1）=（3，9，0）=3（1，3，0），且（4，10，1）-（3，7，1）=（1，3，0），可依此求出（1，1，1）的金额。
解析：从题目条件可以得到，
3件甲+7件乙+1件丙=3.15元……⑴，
4件甲+10件乙+1件丙=4.2元……⑵，
⑵-⑴，得到：
1件甲+3件乙=1.05元……⑶，
⑴-⑶×2或⑵-⑶×3，得到：
1件甲+1件乙+1件丙=3.15-1.05×2=1.05元
所以购买甲、乙、丙各1件需要1.05元。
答案：A