公务员考试行测：排列组合问题之插板法
插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢?
首先给各位公务员考友看一道题目：
例1.现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
【解析】：题目中球的分法共三类：
第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为 。
第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数 。
第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数 。
所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为： 。
由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。
将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个)，借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”(6个档板可把球分为7组)，其方法种数为 。
由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同;
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余;
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
下面再给各位看一道例题：
例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有( )种不同方法.
A.35 B.28 C.21 D.45
【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。
其实此题还是用“插板法”，只是要做一些小变化，详解如下：
设想把这8个球一个接一个排起来，即
，共形成9个空档(此时的空档包括中间7个空档和两端2个空档)，然后用2个档板把这8个球分成3组，先插第一个档板，由于可以有空盒，所以有9个空档可以插;再插第二个板，有10个空档可以插，但由于两个板是不可分的(也就是说当两个档板相邻时，虽然是两种插法，但实际上是一种分法)，所以共
种。
例3.(1)已知方程 ，求这个方程的正整数解的个数。
(2)已知方程 ，求这个方程的非负整数解的个数。
【解析】：(1)将20分成20个1，列出来：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1在这20个数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3部分，每一部分对应“1”的个数，按顺序排成 ; ; ;即是正整数解。故正整数解的个数为
，解法非常简单。
【解析】：(2)此题和例2的解法完全相同，请各位考友自己考虑一下。
【提示】：今后我们利用“插板法”解决这种相同元素问题时，一定要注意“空”与“不空”的分析，防止掉入陷阱。例3的两题相比较，可以很明显地看出“空”与“不空”的区别。
【总结】： “非空”问题插板法原型为：设有 个相同元素，分成 ( )组，每组至少一个元素的分组方法共有 ;“可空”问题插板法问题原型为：设有
个相同元素，分成 ( )组，则分组方法共有 种方法。
练习1.有10级台阶，分8步走完。每步可以迈1级、2级或3级台阶，有多少中走法?(答案为 )
老子曰：夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。在平时的学习中，我们应当学会寻找共性，寻找根源，从本质上理解归纳各种问题。
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