国考行测数量关系：容斥原理问题
十四、容斥原理问题【频考程度】★★★★☆
容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，再减去重复的部分，从而使得计算
的结果既无遗漏又无重复。近几年的公务员录用考试，容斥原理是考查的重点。
(1)两个集合的容斥关系公式:A+B=AUB+A∩B。
(2)三个集合的容斥关系公式:A+B+C=AUBUC+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C。
【例题1】(2011年河北省真题)
某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有
之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人?()
A. 13 B. 10 C. 8 D. 5
解析:这是一道容斥原理问题。设既没有高级职称又没有硕士以上学历的人员有x人，根据容斥 原理基本公式得:45+30-12 =
68-X，解得：x=5。故选D。
【例题2】大学四年级某班共有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两
种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者而非奥运会志愿者的同学为多少?()
A. 3 B. 7 C. 10 D. 17
解析:如图所示，设既是奥运志愿者又是全运志愿者的人数为:r，根据容 斥原理得(10-x)+x+(17-x) +30 = 50，解得:x=7，17-7
= 10 人。故选 C。
【例题3】某班56名同学参加了奥数或作文课外兴趣小组的活动，其中参 加奥数的有32人，参加作文的有35人，问两种活动都参加的有多少 人?( )
A. 3 B. 11 C. 21 D. 24
解析：由题可知，两种活动都参加的有32+35-56 = 11人。故选B。
知识积累
一般情况下，涉及求解元素个数的题目都需要用到容斥原理。解决容斥原理问题的方法有公式法= 和文氏图法。
对于一卷简单的题目，可以直接代人容斥原理公式进行求解，对于较复杂的题目，应用文氏图法，并在图上标清已知数据，可以帮助应试者快速地建立解题思路，然后求解。
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