2016年国考行测数量关系备考之整除问题(6)
例7 下面这个41位数http://www.sdsgwy.com/article/UploadPic/2011-3/20113128255410005.jpg
能被7整除，中间方格代表的数字是几?
解：因为 111111=3×7×11×13×37，所以
555555=5×111111和999999=9×111111
都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.
http://www.sdsgwy.com/article/UploadPic/2011-3/20113128262195314.jpg
右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.
把55□99拆成两个数的和：
55A00+B99，
其中□=A+B.
因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3=6.
注意，记住111111能被7整除是很有用的.
例8 甲、乙两人进行下面的游戏.
两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中
http://www.sdsgwy.com/article/UploadPic/2011-3/20113128272045688.jpg
每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字(数字可重复)后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜;如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.
如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜?
解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数(六位数的个位)，就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N=5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.
上面已经列出乙不能获胜的N的取值.
如果N=1，很明显乙必获胜.
如果N=3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.
考虑N=7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001=7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.
综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.
记住，1001=7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.
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