2014年上半年联考：数量关系之牛吃草问题解题技巧
牛吃草问题对大部分考生来讲是一种比较新的题型，但其实在小学奥数中这种题型已经出现，而且比较容易理解。最原始的题目模型，如一片草地(草以均匀的速度生长)，10只牛可以吃6天，8只牛可以吃12天，则这片草可供12只牛吃的天数是多少。考试中考查这种原始的题目模型的可能性很小，基本上都是在原始模型的基础上进行变型。所以，京佳教育魏梓琳老师认为考生在学习这种题型的过程中，要注意分清楚哪个是牛、哪个是草，分清楚之后才能对照模型对号入座。接下来，我们就以原始模型为例先讲解一下牛吃草问题的本质，再以历年考试真题为例巩固此题型，希望考生能够掌握。【例题1】一片草地(草以均匀的速度生长),10只牛可以吃6天，8只牛可以吃12天，则这片草可供12只牛吃的天数是( )。
A. 5 B. 4 C. 3 D. 6
从本质上来讲，牛吃草问题可以看作是工程问题的变型。诸如此题，我们可以设最初的草量为M，每头牛吃草的速度为V1，牛的数量为N，草生长的速度为V，把草吃完的时间设为t，则我们可以根据牛最终吃到的草量为N×V1×t，所有的草量为M+V×t，二者应该是一样的，即N×V1×t=M+V×t。整理后得到M=(N×V1-V)×t，通常每头牛吃草的速度V1默认为1(即使不默认为1，设为未知数会发现对最终的结果没有影响)。因此，M=(N-V)×t就是解决牛吃草问题基本公式，也是核心公式。
【京佳解析】B 牛吃草问题。直接运用公式，根据前两个条件列式M=(10-V)×6，M=(8-V)×12，解得M=24，V=6。因此这片草可供12只牛吃的天数为12-6(24)=4天。故选B。
从例题中我们可以看出牛吃草问题的本质，那么在实际考试中绝对不会单纯地给出类似这样的题目，而是会加以变型。接下来我们就以两个真题为例进行讲解牛吃草问题的变型。
【2011·安徽】某招聘会在入场前若干分钟开始排队，每分钟来的求职人数一样多，从开始入场到等候入场的队伍消失，同时开4个入口需30分钟，同时开5个入口需20分钟。如果同时打开6个入口，需( )分钟。
A. 8 B. 10 C. 12 D. 15
【京佳解析】D 牛吃草问题。本题虽然没有出现“牛”或者“草”，但其本质属于这种题型。开始入场前排队的人数相当于已有的草量，后面来的求职人数相当于均匀增长的草，入口数相当于牛的数量。因此，根据公式得M=(4-V)×30，M=(5-V)×20，解得M=60，V=2。如果同时打开6个入口则所需的时间为60÷(6-2)=15分钟。故选D。
【2013·国考】某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月，如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)( )。
A.25 B. 30 C. 35 D. 40
【京佳解析】B 牛吃草问题。相信大部分考生能看出这是牛吃草问题的变型，也能根据公式列出式子进行求解：M=(80-V)×6，M=(60-V)×10，得M=300，V=30。但接下来怎么办，怎么理解“不间断的开采”，这就考验大家对于牛吃草问题本质的把握了。想让人能够不间断地进行开采，就得使开采量小于等于泥沙的沉积量，泥沙每月的沉积量为30，意味着最多可供30人进行开采。一旦超过30人来开采，新沉积的泥沙不够人开采，那么人们就会开采原有的泥沙量，泥沙总量就会逐月减少直至开采枯竭。因此最多可供30人进行连续不间断的开采。故选B。
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