2015国考数量：极值之函数难题的通用解法
在人们的经济生产和日常生活中，常常会遇到要解决在一定条件下如何使投入最小、用料最省、产出最多、利润最高等类似的问题，这些经济和生活问题通常都可以转化为数学中的函数问题来讨论，进而转化成求最大或最小值。此类问题统称为函数极值问题，解决此类问题具有很强的现实意义。京佳教育专家通过对近年来各地公考中考到的真题进行讲解，总结出固定的通用解法，供参加2015国考的朋友借鉴。一、解题思路：
1. 列式子：根据题目已知条件，列出函数式y=a·xn;
2.求导数：根据求导公式，得出y=a·xn的导数表达式y’=a·n·xn-1;
3. 求x值：令y’=0，从而解出x，若有不合适的x，则舍去;
4.得y值：将x代入到原函数式中，求出的y值，即为最大值。
二、真题举例
例1：(2014.09.20河南政法干警43题)某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大?( )
A. 155元 B. 165元 C. 175元 D. 185元
【答案】D。京佳解析：假设每辆车的日租金增加x个5元，此时有最大收益y元，则有：y=(100+5x-20)×(200-4x)，化简得y=-20x2+680x+16000，函数的导数为yˊ=-40x+680。设该倒数为0，则x=17;因此，y=100+5×17=185元。故选D。
例2：(2014.03.23山东选调69题)某企业净利润L与产量Q(单位：万件)之间的关系为：L(Q)= - 3(1)Q3+2Q2+3(4)，问该企业的最优利润是( )万元。
A. 12 B. 4 C. 3(4) D. 0
【答案】A。京佳解析：题目直接给了一个三次函数，要求L的最大值，首先对函数求导，得其导数为Lˊ(Q)=-Q2+4Q。当该导数为0时，其利润取到最大值，因此，Q=0或者4;又产量为0时，得到的肯定不是最优利润，故Q=4。因此，该企业的最优利润是L(Q)= - 3(1)Q3+2Q2+3(4)= - 3(1)×43+2×42+3(4)=12万元。故选A。
例3：(2013四川村官29题)某企业的净利润y(单位：10万元)与产量x(单位：100万件)之间的关系为：y=x3/3+x2+11/3，问该企业的净利润的最大值是多少万元?( )
A.5 B.50 C.60 D.70
【答案】A。经济解析：题目直接给了一个三次函数，要求y的最大值，首先对函数求导，得其导数为y’=x2+2x，令y’=0，解得x1=0(舍去)，x2=-2。x=-2时，y有最大值为5。故选A。
例4：(2011江苏省考29题)4辆车运送货物，每辆车可运16次，7辆车运送，每辆车只能运10次。设增加的车辆数与运送减少的次数成正比，且每车次运送货物相等，运送货物总量最多是多少车次?( )
A. 72 B. 74 C. 64 D. 68
【答案】A。京佳解析：假设x为增加的车辆数，y为总的运货车次，根据“设增加的车辆数与运送减少的次数成正比”，则有y=(4+x)×(16-2x)=-2x2+8x-64，这是一个二次函数，要求y的最大值。我们对y=-2x2+8x-64进行求导，则有y’=-4x+8=0，因此，当x=2时，y有最大值，最大值是y=(4+x)×(16-2x)=(4+2)×(16-2×2)=6×12=72。故选A。
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